Spaceman के पीछे का गणित: प्रायिकता, अपेक्षित मान और वैरिएंस
Spaceman टाइमिंग का खेल लगता है, लेकिन इसके नीचे की संख्याएँ सरल हैं। यह लेख crash गेम के मानक मॉडल को समझाता है: किसी राउंड के एक निश्चित मल्टीप्लायर तक पहुँचने की कितनी संभावना है, एक दांव औसतन कितने का है, और नतीजे उस औसत के आसपास इतने क्यों बिखरते हैं।
पहले एक जरूरी चेतावनी। Pragmatic Play Spaceman का सटीक crash-point वितरण प्रकाशित नहीं करता। जो वह बताता है वह है 96.5% का RTP और [5,000x](/hi/spaceman/spaceman-max-win) का अधिकतम। नीचे सब कुछ crash गेम के मानक पाठ्यपुस्तकीय मॉडल का उपयोग करता है, जिसमें किसी मल्टीप्लायर तक पहुँचने की संभावना RTP को उस मल्टीप्लायर से भाग देने पर मिलती है। यही मॉडल यह साइट अपनी गणनाओं में इस्तेमाल करती है। असली वक्र विवरण में अलग हो सकता है, इसलिए आँकड़ों को एक स्पष्ट अनुमान मानें, डेवलपर का बयान नहीं। आपके कैसीनो की नियम स्क्रीन पर दिखने वाला RTP ही लागू होता है। इस संख्या के बारे में ज्यादा जानने के लिए RTP गाइड देखें।
मूल मॉडल
मल्टीप्लायर तक पहुँचने की प्रायिकता
मानक मॉडल में, किसी राउंड के कम से कम मल्टीप्लायर m तक पहुँचने की प्रायिकता है:
P(m तक पहुँचना) = RTP / m = 0.965 / m
दो जाँचें दिखाती हैं कि सूत्र समझदार है:
- m = 1 पर, P = 0.965। इसका मतलब है कि 3.5% राउंड किसी के कैशआउट करने से पहले ही खत्म हो जाएँगे, जो वक्र के सबसे निचले बिंदु पर दिखता हुआ हाउस एज ही है।
- हर बार लक्ष्य दोगुना करने पर प्रायिकता आधी हो जाती है। 4x तक पहुँचना 2x तक पहुँचने से आधा संभावित है।
हर लक्ष्य का अपेक्षित मान समान क्यों है
मान लीजिए आप 1 यूनिट दांव लगाते हैं और मल्टीप्लायर m पर कैशआउट की योजना बनाते हैं। आपको 0.965 / m की प्रायिकता से m यूनिट वापस मिलती हैं, और अन्यथा कुछ नहीं:
भुगतान का EV = (0.965 / m) x m = 0.965
m कट जाता है। दांव पर लगाई हर यूनिट पर औसतन आपको 0.965 वापस मिलता है, इसलिए आप चाहे जो लक्ष्य चुनें, आप प्रति यूनिट 0.035 यानी प्रति 100 दांव पर 3.5 गँवाते हैं। यही हाउस एज (100% - 96.5%) है। क्योंकि आंशिक कैशआउट का हर हिस्सा अपने लक्ष्य वाला एक दांव है, इसलिए दांव को दो लक्ष्यों में बाँटने से भी यह नहीं बदलता।
कैशआउट लक्ष्यों की तुलना
तालिका 100 यूनिट के दांव का उपयोग करती है। "अपेक्षित नुकसान" प्रति राउंड लंबे समय का औसत नुकसान है। "मानक विचलन" बताता है कि एक अकेला राउंड आमतौर पर उस औसत से कितना दूर पड़ता है, और इसकी गणना मॉडल से 100 x sqrt(0.965 x m - 0.965^2) के रूप में की जाती है।
| लक्ष्य | पहुँचने की संभावना | लगभग 1 में से | प्रति 100 अपेक्षित नुकसान | प्रति 100 मानक विचलन |
|---|---|---|---|---|
| 1.1x | 87.7% | 1.1 | 3.5 | 36 |
| 1.5x | 64.3% | 1.6 | 3.5 | 72 |
| 2x | 48.25% | 2.1 | 3.5 | 100 |
| 3x | 32.2% | 3.1 | 3.5 | 140 |
| 5x | 19.3% | 5.2 | 3.5 | 197 |
| 10x | 9.65% | 10.4 | 3.5 | 295 |
| 20x | 4.83% | 20.7 | 3.5 | 429 |
| 50x | 1.93% | 51.8 | 3.5 | 688 |
| 100x | 0.965% | 103.6 | 3.5 | 978 |
| 1,000x | 0.0965% | 1,036 | 3.5 | 3,105 |
| 5,000x | 0.0193% | 5,181 | 3.5 | 6,946 |
2x पर हल किया गया उदाहरण: आप 0.4825 की प्रायिकता से 100 जीतते हैं और 0.5175 की प्रायिकता से 100 हारते हैं, इसलिए EV = 48.25 - 51.75 = -3.5। 10x पर: आप 0.0965 की प्रायिकता से 900 जीतते हैं और 0.9035 की प्रायिकता से 100 हारते हैं, इसलिए EV = 86.85 - 90.35 = -3.5। नुकसान वही, अनुभव बहुत अलग।
वैरिएंस: औसत वही, सफर बहुत अलग
मानक विचलन आपको क्या बताता है
अपेक्षित नुकसान हर लक्ष्य के लिए एक जैसा है, लेकिन फैलाव नहीं। 1.1x जैसा कम लक्ष्य ज्यादातर राउंड छोटी रकम से जीतता है और कभी-कभार पूरा दांव गँवाता है। ऊँचा लक्ष्य लगभग हर राउंड हारता है और बीच-बीच में बड़ी रकम देता है।
n राउंड में अपेक्षित नुकसान n के अनुपात में बढ़ता है, जबकि मानक विचलन केवल n के वर्गमूल के साथ बढ़ता है। इसका एक उपयोगी नतीजा है, सामान्य सन्निकटन और 100 यूनिट के 10,000 राउंड मानकर:
- 2x पर: अपेक्षित नुकसान 35,000, मानक विचलन लगभग 9,990। आगे रहकर खत्म करने के लिए औसत से 3.5 मानक विचलन ऊपर का नतीजा चाहिए, यानी लगभग 0.02% संभावना।
- 10x पर: अपेक्षित नुकसान 35,000, मानक विचलन लगभग 29,500। आगे रहकर खत्म करने के लिए लगभग 1.2 मानक विचलन चाहिए, यानी लगभग 12% संभावना।
इसका मतलब यह नहीं कि ऊँचे लक्ष्य बेहतर हैं। अपेक्षित नुकसान वही है, और आगे रहकर खत्म करने की संभावना के साथ कहीं बड़े घाटे का जोखिम भी आता है। इसका मतलब है कि छोटे सेशन में किस्मत हावी रहती है, और 3.5% का एज केवल बहुत बड़ी संख्या में राउंड के बाद दिखाई देता है।
हार की कड़ियाँ
2x लक्ष्य पर चूकने की संभावना प्रति राउंड 51.75% है। राउंड स्वतंत्र हैं, इसलिए कड़ियाँ सरल घातों का पालन करती हैं:
| 2x पर लगातार चूक | प्रायिकता | लगभग 1 में से |
|---|---|---|
| 3 | 13.9% | 7 |
| 5 | 3.7% | 27 |
| 10 | 0.14% | 726 |
इतनी लंबी कड़ियाँ सामान्य हैं, इस बात का सबूत नहीं कि कुछ टूटा हुआ है। यह दांव की योजनाओं में कैसे काम आता है, इसके लिए बैंकरोल गाइड देखें।
5,000x की सीमा
Spaceman का अधिकतम मल्टीप्लायर 5,000x है। मानक मॉडल में किसी राउंड के 5,000x तक पहुँचने की संभावना 0.965 / 5,000 = 0.0193% है, यानी लगभग 5,181 राउंड में 1। इसी कारण यह सीमा गणित को मुश्किल से प्रभावित करती है: प्रायिकता का केवल एक बहुत छोटा हिस्सा उसके ऊपर है।
अगर डेवलपर वक्र को सीमा पर काट देता है, तो इस मॉडल में 5,000x या उससे कम के किसी भी लक्ष्य का अपेक्षित मान नहीं बदलता, और उससे ऊपर के लक्ष्य मौजूद ही नहीं हैं। हम पुष्टि नहीं कर सकते कि असली खेल ऊपरी सिरे को कैसे संभालता है, इसलिए तालिका की आखिरी पंक्ति को इस बात का वादा न समझें कि 5,000x कितनी बार आता है। हमारा अधिकतम जीत का लेख देखता है कि व्यवहार में इस सीमा का क्या मतलब है।
स्वतंत्रता और जुआरी की भूल
हर राउंड प्रमाणित रैंडम नंबर जनरेटर से स्वतंत्र रूप से बनता है। ऊपर की प्रायिकताएँ हर राउंड पर नए सिरे से लागू होती हैं:
- 2x से नीचे के दस राउंड के बाद भी, अगले राउंड के 2x तक पहुँचने की संभावना वही है। उसकी "बारी" नहीं आई है।
- लगातार पाँच जीत के बाद भी, अगली जीत की संभावना नहीं बदली है।
- हिस्ट्री चार्ट के पैटर्न वही हैं जैसा रैंडम डेटा इंसानी आँख को दिखता है। वे अगले राउंड के बारे में कोई जानकारी नहीं रखते।
इसीलिए राउंड का पूर्वानुमान लगाने का दावा करने वाले टूल काम नहीं कर सकते।
गणित क्या अनुमति नहीं देता
- कोई कैशआउट लक्ष्य दूसरे से बेहतर अपेक्षित मान नहीं रखता।
- कोई दांव का पैटर्न नकारात्मक अपेक्षित मान को सकारात्मक नहीं बनाता। प्रोग्रेशन सिस्टम नतीजों का आकार बदलते हैं, औसत नहीं।
- पिछले राउंड भविष्य के राउंड के बारे में कोई जानकारी नहीं देते।
व्यावहारिक निष्कर्ष
- किसी भी दांव को मनोरंजन की कीमत मानें, जिसकी अपेक्षित लागत प्रति 100 दांव पर 3.5 है।
- लक्ष्य इस आधार पर चुनें कि आप कितना वैरिएंस सह सकते हैं, इसलिए नहीं कि वह ज्यादा चतुर लगता है।
- खेलने से पहले बजट तय करें और खत्म होते ही रुक जाएँ।
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